2.1. Составные высказывания
Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные ) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.
Примеры. Забор красный И забор деревянный.
Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя
Забор НЕ красный.
Смысл этих высказываний понятен.
Высказывание с И содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, - составное высказывание ложно.
Высказывание с ИЛИ тоже содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих элементарных высказываний. Если оба эти высказывания ложны, - составное высказывание ложно.
Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.
Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок:)
(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)
Здесь 3 элементарных высказывания.
2.2. Логические значения. Логические операции.
Мы уже знаем, что каждому высказыванию можно приписать одно из двух логических значений – истина (часто обозначается: 1 ) или ложь (часто обозначается: 0 ). Слова И, ИЛИ, НЕ задают операции над логическими значениями (логические операции ). Действительно, например, составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба его элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, - составное высказывание ложно. Здесь нам не важно, каковы были исходные высказывания. Истинность составного высказывания зависит только от логического (иногда говорят - истинностного ) значения исходных высказываний.
Так как логических значений всего два, то эти операции можно описать таблицами.
У операций И, ИЛИ, НЕ есть «научные» названия (даже несколько для каждой операции 🙂 и специальные обозначения (в примерах A, B обозначают какие-то конкретные логические значения):
НЕ: отрицание, инверсия. Обозначение: ¬ (например, ¬А);
И: конъюнкция, логическое умножение.
Обозначается /\ (например, А /\ В) либо & (например, А & В);
ИЛИ: дизъюнкция, логическое сложение .
Обозначается \/ (например, А \/ В).
В математике используются и другие логические операции.
Каждая логическая операция может быть задана своей таблицей. Вот еще два примера логических операций:
1) следование (импликация) ; обозначается → (например, А → В); см. таб. 4. Выражение А → В истинно если A ложно ИЛИ B истинно. То есть, А → В означает то же самое, что и (¬А) \/ В.
2) тождество (эквивалетность); обозначается ≡ (например, A ≡ B); см. таб 5. Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны).
2.3. Логические выражения. Таблицы истинности.
Логические операции играют для логических значений ту же роль, что и арифметические операции для чисел. Аналогично построению алгебраических выражений, с помощью логических операций можно строить логические выражения. Как и алгебраические выражения, логические выражения могут включать константы (логические значений 1 и 0) и переменные. Если в логическом значении есть переменные, оно задает функцию (логическую функцию; синоним: булеву функцию). Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в выражение вместо переменных.
Для каждого логического выражения можно составить таблицу истинности , которая описывает, какое значение принимает соответствующая логическая функция (синоним: принимает выражение ) при каждом допустимом наборе значений переменных. Вот таблицы истинности для выражений x \/ y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) /\ (y → z) (таблица 8).
2.4. Эквивалентные выражения.
Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными ), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А/\В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).
Эквивалентные выражения имеют одинаковые таблицы истинности, а у неээквивалентных выражений таблицы истинности различны.
2.5. Приоритеты логических операций.
При записи логических выражений, как и при записи алгебраических выражений, иногда можно не писать скобки При этом соблюдаются следующие договоренности о старшинстве (приоритете) логических операций, первыми указаны операции, которые выполняются в первую очередь:
отрицание (инверсия),
конъюнкция (логическое умножение),
дизъюнкция (логическое сложение),
импликация (следование),
тождество.
Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).
Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.
Дорогие друзья, рады видеть вас на этой страничке! Дорогой посетитель, не исключено, что ты ищешь Простые цитаты с рисунками по этой тематике. Классно! Ты нашёл, что искал. Мы желаем тебе умопомрачительного чтения и самосовершенствования!
Те, кто упорно испытывает свою жизнь на прочность, рано или поздно добиваются своего эффектно оканчивают ее.
Я понял, что для того, чтобы понять смысл жизни, надо прежде всего, чтобы жизнь была не бессмысленна и зла, а потом уже разум для того, чтобы понять ее. Толстой Л. Н.
Чем сильнее любовь, тем она беззащитнее. Герцогиня Диана (Мари де Босак)
Раз в жизни фортуна стучится в дверь каждого человека, но человек в это время нередко сидит в ближайшей пивной и никакого стука не слышит. Марк Твен
Я не боюсь того, кто изучает 10,000 различных ударов. Я боюсь того, кто изучает один удар 10,000 раз.
Я ежедневно о тебе мечтаю, я думаю ночами о тебе!
Тот, кто не может располагать 2/3 дня лично для себя, должен быть назван рабом. Фридрих Ницше
Я был из тех, кто соглашается беседовать о смысле жизни для того, чтоб быть готовым править верстку на эту тему. Эко У.
Desinit in piscem mulier formosa superne — прекрасная сверху женщина оканчивается рыбьим хвостом.
Мы — рабы своих привычек. Измени свои привычки, изменится твоя жизнь. Роберт Кийосаки
Ты бы мог протянуть руку вперед и схватить счастье. Оно ведь рядом совсем! Но ты всегда смотришь только назад
Ошибки всегда можно себе простить, если только найдется смелость признать их. Брюс Ли
Первый вздох любви — это последний вздох мудрости. Антони Брет.
Дружба — это любовь без крыльев. Байрон
Если человек может сказать, что такое любовь, значит, он никого не любил.
Во что влюбился, то и целуй.
из-за не скольких людей я могу переступить через свою гордость и свой страх…
Наша любовь началась с первого взгляда.
Ревность — это измена подозрением в измене. В. Кротов
С неповторимым мужчиной — хочется повторить!
Романтически настроенной женщине претит секс без любви. Поэтому она спешит влюбиться с первого взгляда. Лидия Ясиньская
Любовь — внутри каждого, но показать её стоит лишь тем, кто открыт Вам.
Тайна любви к человеку начинается в тот момент, когда мы на него смотрим без желания им обладать, без желания над ним властвовать, без желания каким бы то ни было образом воспользоваться его дарами или его личностью — только глядим и изумляемся той красоте, что нам открылась. Антоний, митрополит Сурожский
Хотелось бы оказаться в первобытном обществе. Не нужно думать о деньгах, об армии, о каких-то званиях и научных степенях. Важны только самки, скот и рабы.
Когда человеку лежать на одном боку неудобно, он переворачивается на другой, а когда ему жить неудобно он только жалуется. А ты сделай усилие перевернись. Максим Горький
Медленная рука времени сглаживает горы. Вольтер
У женщин — все сердце, даже голова. Жан Поль
Твой поцелуй так сладок был, что я от счастья просто окрылилась!
Человек тянется, будто росток, к Светилу и становится выше. Мечтая о несбыточных грезах, достигает заоблачных высот.
Лучше настоящая дружба, чем поддельная любовь!
Нас невозможно лишить самоуважения, если только мы сами его не отдадим Ганди
Любовь — это эгоизм вдвоем.
Знания делают человека весомее, а поступки придают ему блеск. Но многие люди склонны взглянуть, но не взвесить. Т. Карлейль
Только в России любимых называют… Горе ты мое!
Безответная любовь — это не любовь, а пытка!
Адекватность умение делать две вещи: вовремя молчать и вовремя говорить.
Счастье приходит с правильными суждениями, правильные суждения приходят с опытом, а опыт приходит с ошибочными суждениями.
Не жди, что станет легче, проще, лучше. Не станет. Трудности будут всегда. Учись быть счастливым прямо сейчас. Иначе не успеешь.
Жизнь, счастливая или несчастливая, удачная или неудачная, все же исключительно интересна. Б. Шоу
Не считай себя мудрым: иначе гордостию вознесется душа твоя, и ты впадешь в руки врагов твоих. Антоний Великий
Ухаживать за своей женой ему казалось столь же нелепым, как охотиться за жареной дичью. Эмиль Кроткий
Письма, и подарки, и глянцевые картинки, выражающие нежность, важны. Но еще важнее слушать друг друга лицом к лицу, это большое и редкостное искусство. Т. Янссон.
Жизнь устроена так дьявольски искусно, что, не умея ненавидеть, невозможно искренне любить. М. Горький
Приятно,когда просто так любимый дарит тебе огромный букет, ведь приятно же, черт!
Без страха люди превращаются в безрассудных глупцов, которые часто расстаются с жизнью. Айзек Азимов Фантастическое путешествие II
Друг это одна душа, живущая в двух телах. Аристотрель
Быть человеком думающим только о себе не значит делать все, что вздумается. Это значит хотеть, чтоб весь мир жил так, как хочется тебе. — О. Уайльд
Каждая мать должна выкроить для себя несколько минут свободного времени, чтобы помыть посуду.
Высказывания отрицания
Среди высказываний отрицания различают высказывания с внешним и внутренним отрицанием. В зависимости от задач исследования высказывание отрицания можно рассматривать или как простое, или как сложное высказывание.
При рассмотрении высказывания отрицания как простого высказывания важной задачей является определение правильной логической формы высказывания:
Простое высказывание, содержащее внутреннее отрицание, принято относить к отрицательным высказываниям (см. «Виды атрибутивных высказывания по качеству»). Например: «Некоторые жители Республики Беларусь не пользуются банковскими кредитами», «Ни один заяц не является хищником»;
Правильной логической формой простого высказывания с внешним отрицанием является противоречащее данному высказывание (см. «Логические отношения между высказываниями. Логический квадрат»). Например: высказыванию «Не все люди жадные» соответствует высказывание «Некоторые люди не являются жадными ».
Рассматривая высказывание отрицания как сложное высказывание, необходимо определить его логическое значение.
Исходное высказывание: Солнце светит (р).
Высказывание отрицания: Солнце не светит (┐р).
Высказывание двойного отрицания: Неверно, что солнце не светит (┐┐р).
| р | ┐р | ┐┐р |
| И | Л | И |
| Л | И | Л |
| Рис. 16 |
Высказывание отрицание истинно лишь тогда, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. С высказыванием отрицания связан закон двойного отрицания: двойное отрицание произвольного высказывания равносильно самому этому высказыванию. Условия истинности высказывания отрицания изображены на рис. 16.
Сложным считается высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, соединенных при помощи логических союзов «и», «или», «если…, то…» и т. д. К сложным высказываниям относят соединительные, разделительные, условные, эквивалентные высказывания, а также высказывания отрицания.
Соединительное высказывание (конъюнкция) – это сложное высказывание, состоящее из простых, соединенных при помощи логической связки «и». Логический союз «и» (конъюнкция) может выражаться в естественном языке грамматическими союзами «и», «но», «однако», «а также» и т. д. Например: «Набежали тучи, и пошел дождь», «И большие и малые радуются хорошему дню» . На символическом языке логики данные высказывания записываются следующим образом: p∧q . Конъюнкция истинна лишь тогда, когда истинны все ее составляющие простые высказывания (рис. 17).
Разделительное высказывание (дизъюнкция). Различают слабую и сильную дизъюнкцию. Слабой дизъюнкции соответствует употребление союза «или» в соединительно-разделительном смысле (или то, или другое, или то и другое вместе). Например: «Этот студент спортсмен или отличник» (p⋁q ), «Наследственные факторы, плохая экология и вредные привычки являются причинами большинства заболеваний» (p⋁q⋁r ). Слабая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в ее состав простых высказываний (см. рис. 17).
Сильной дизъюнкции соответствует употребление союза «либо» в исключающе-разделительном смысле (либо то, либо другое, но не то и другое вместе). Например: «Вечером я буду на занятиях или пойду на дискотеку», «Человек либо жив, либо мертв» . Символическая запись p⊻q . Сильная дизъюнкция истинна тогда, когда истинно только одно из входящих в ее состав простых высказываний (см. рис. 17).
Условное высказывание (импликация) – это сложное высказывание, состоящее из двух частей, соединенных с помощью логического союза «если…, то…». Высказывание, стоящее после частицы «если», называют основанием, а высказывание, стоящее после «то» – следствием. При логическом анализе условных высказываний основание импликации всегда ставится вначале. В естественном языке это правило часто не соблюдается. Пример условного высказывания: «Если ласточки низко летают, то будет дождь» (p→q ). Импликация ложна лишь в одном случае, когда ее основание истинно, а следствие – ложно (см. рис. 17).
Эквивалентное высказывание – это высказывание, состоящее из простых, соединенных с помощью логического союза «тогда и только тогда, когда» («если и только если…, то…). В эквивалентном высказывании подразумевается одновременное наличие или отсутствие двух ситуаций. В естественном языке эквиваленция может выражаться грамматическими союзами «если…, то…», «лишь в том случае, когда…» и т. д. Например: «Наша команда выиграет лишь в том случае, если хорошо подготовится » (p↔q ). Эквивалентное высказывание будет истинным тогда, когда составляющие его высказывания являются либо одновременно истинными, либо одновременно ложными (см. рис. 17).
Для формализации рассуждения необходимо:
1) найти и обозначить малыми согласными буквами латинского алфавита простые высказывания, входящие в состав сложного. Переменные присваиваются произвольно, но если одно и то же простое высказывание встречается несколько раз, то столько же раз используется соответствующая переменная;
2) найти и обозначить логическими константами логические союзы (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐);
3) в случае необходимости расставить технические знаки [...], (...).
На рис. 18 изображен пример формализации сложного высказывания.
Я уже освободился (p) и (∧) , если меня не задержат (┐q ) или (⋁)не сломается автомобиль (┐r), то(→) я скоро приеду (s) .
p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s
Рис. 18
После того как высказывание записано в символическом виде, можно определить тип формулы. В логике различают тождественно-истинные, тождественно-ложные и нейтральные формулы. Тождественно-истинные формулы независимо от значений входящих в их состав переменных всегда принимают значение «истина», а тождественно-ложные – значение «ложно». Нейтральные формулы принимают как значение «истина», так и значение «ложно».
Для определения типа формулы используется табличный способ, сокращенный способ проверки формулы на истинность методом «сведения к абсурду» и приведение формулы к нормальной форме. Нормальной формой некоторой формулы является такое ее выражение, которое соответствует следующим условиям:
Не содержит знаков импликации, эквиваленции, строгой дизъюнкции и двойного отрицания;
Знаки отрицания находятся только при переменных.
Табличный способ определения типа формулы:
1. Строят столбцы входных значений для каждой из имеющихся переменных. Эти столбцы называют свободными (независимыми), в них учитывают все возможные комбинации значений переменных. Если в формуле две переменные, то строят два свободных столбца, если же три переменные, то три столбца и т. д.
2. Для каждой подформулы, то есть части формулы, содержащей хотя бы один союз, строят столбец ее значений. При этом учитываются значения свободных столбцов и особенности логического союза (см. рис. 17).
3. Строят столбец выходных значений для всей формулы в целом. По значениям, полученным в выходном столбце, определяют тип формулы. Так, если в выходном столбце имеется только значение «истина», то формула будет относиться к тождественно-истинным и т.д.
| Таблица истинности для формулы (p ^ q) → r | ||||
| p | q | r | p ^ q | (p ^ q) → r |
| И | И | И | И | И |
| Л | И | Л | Л | И |
| Л | Л | И | Л | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| И | И | Л | И | Л |
| И | Л | И | Л | И |
| Л | И | И | Л | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
| Рис. 19 |
Число столбцов в таблице равняется сумме переменных, входящих в формулу, и имеющихся в ней союзов. (Например: в формуле на рис. 18 четыре переменных и пять союзов, следовательно, в таблице будет девять столбцов).
Количество строк в таблице вычисляется по формуле С = 2 n , где n – количество переменных. (В таблице по формуле на рис. 18 должно быть шестнадцать строк.)
На рис. 19 изображен пример таблицы истинности.
Сокращенный способ проверки формулы на истинность методом сведения к абсурду:
((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))
1. Предположим, что данная формула не является тождественно-истинной. Следовательно, при некотором наборе значений она принимает значение «ложно».
2. Данная формула может принимать значение «ложно» только в том случае, если основание импликации (p⋁q)⋁r будет «истинно», а следствие p⋁(q⋁r) – «ложно».
3. Следствие импликации p⋁(q⋁r) будет ложным в том случае, когда р – «ложно» и q⋁r – «ложно» (см. значение слабой дизъюнкции на рис. 17).
4. Если q⋁r – «ложно», то и q и r – «ложно».
5. Мы установили что р – «ложно», q – «ложно» и r – «ложно». Основание импликации (p⋁q)⋁r представляет собой слабую дизъюнкцию этих переменных. Так как слабая дизъюнкция принимает значение «ложно» тогда, когда ложными являются все ее составляющие, то основание импликации (p⋁q)⋁r тоже будет «ложным».
6. В п. 2 установили, что основание импликации (p⋁q)⋁r – «истинно», а в п. 5 что оно является «ложным». Возникшее противоречие свидетельствует о том, что предположение, сделанное нами в п. 1, ошибочно.
7. Так как данная формула ни при каком наборе значений своих переменных не принимает значение «ложно», то она является тождественно-истинной.
3.8. Логические отношения между высказываниями
(логический квадрат)
Между высказываниями, имеющими сходный смысл, устанавливаются связи. Рассмотрим отношения между простыми и сложными высказываниями.
В логике всю совокупность высказываний разделяют на сравнимые и несравнимые. Несравнимыми среди простых высказываний являются высказывания, имеющие различные субъекты или предикаты. Например: «Все студенты – учащиеся» и «Некоторые студенты – отличники» .
Сравнимыми являются высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой и квантором. Например: «Все граждане Республики Беларусь имеют право на отдых» и «Ни один гражданин Республики Беларусь не имеет право на отдых».
|
Среди сравнимых высказываний различают совместимые и несовместимые.
Отношение совместимости
1. Эквивалентность (полная совместимость) – высказывания, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную утвердительную или отрицательную связку, одну и ту же логическую характеристику. Эквивалентные высказывания различаются словесным выражением одной и той же мысли. С помощью логического квадрата отношения между данными высказываниями не иллюстрируются.
2. Частичная совместимость (подпротивность, субконтрарность ). В этом отношении находятся частноутвердительное и частноотрицательное высказывания (I и О). Это означает, что два таких высказывания могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то второе обязательно истинно. Если же одно из них истинно, то второе неопределенно.
3. Подчинение (субординация ). В этом отношении находятся общеутвердительное и частноутвердительное высказывания (А и I), а также общеотрицательное и частноотрицательное высказывания (Е и О).
Из истинности общего высказывания всегда следует истинность частного. В то время как истинность частного высказывания свидетельствует о неопределенности общего высказывания.
Из ложности частного высказывания всегда следует ложность общего высказывания, но не наоборот.
Отношение несовместимости. Несовместимыми являются высказывания, которые не могут быть одновременно истинными:
1. Противоположность (противность, контрарность) – в этом отношении находятся общеутвердительное и общеотрицательное высказывания (А и Е). Это отношение означает, что два таких высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Если одно из них истинно, то второе обязательно – ложно. Если же одно из них ложно, то второе неопределенно.
2. Противоречие (контрадикторность) – в нем находятся обще-утвердительное и частноотрицательное высказывания (A и О), а также общеотрицательное и частноутвердительное высказывания (Е и I). Два противоречащих высказывания не могут быть ни одновременно ложными, ни одновременно истинными. Одно обязательно истинно, а другое ложно.
Сравнимыми среди сложных высказываний являются высказывания, имеющие хотя бы одну одинаковую составляющую. В противном случае сложные высказывания несравнимы.
Сравнимые сложные высказывания могут быть совместимыми или несовместимыми.
Отношение совместимости означает, что высказывания могут быть одновременно истинными:
| p | q | p→q | q→p |
| И | И | И | И |
| И | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л |
| Л | Л | И | И |
| Рис. 22 |
| 3. Отношение следования (подчинения ) означает, что из истинности одного высказывания следует истинность другого, но не наоборот (рис. 23). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Отношение сцепления означает, что истинность (ложность) одного высказывания не исключает ложности (истинности) другого (рис. 24). |
|
Отношение несовместимости означает, что высказывания не могут быть одновременно истинными:
| p | q | p→q | p∧┐q |
| И | И | И | Л |
| И | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л |
| Л | Л | И | Л |
| Рис. 26 |
Простые и сложные высказывания. Отрицание высказывания
Математическая логика, основы которой были заложены Г.Лейбницем еще в XVII веке, сформировалась как научная дисциплина только в середине XIX века благодаря работам математиков Дж. Буля и О. Моргана, которые создали алгебру логики.
1. Высказыванием называется любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Приведем примеры:
б) 2+6>8 (ложное высказывание),
в) сумма чисел 2 и 6 больше числа 8 (ложное высказывание);
г)II + VI > VII(истинное высказывание);
д) в пределах нашей Галактики существуют внеземные цивилизации (это высказывание, несомненно, либо истинно, либо ложно, но пока неизвестно, какая из этих возможностей выполняется).
Ясно, что высказывания б) и в) означают одно и то же, но выражены они по-разному. Вообще высказывания будем записывать так: а:(Луна - спутник Земли); b:(существует такое действительное число х, что 2х+5=15); с:(все треугольники – равнобедренные).
Не всякое предложение является высказыванием. Например, восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются ("Какого цвета этот дом?", "Пейте томатный сок!", "Стой!" и т.д.). Не являются высказываниями и определения, например, "Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны". Здесь лишь устанавливается название некоторого объекта. Таким образом, определения, но могут быть истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов. Не являются высказываниями и предложения "Он сероглаз" или "х 2 - 4х + 3 = 0" - в них не указано, о каком человеке идет речь или при каких х рассматривают равенство. Такие предложения с неизвестным членом (переменной) называют неопределенными высказываниями . Отметим, что предложение "Некоторые люди сероглазы" или ""Для всех х справедливо равенство х 2 - 4х + 3 = 0" уже являются высказыванием (первое из них истинно, а второе ложно).
2. Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым. Например, высказывание "Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток" состоит из двух частей" "Сегодня в 4 часа дня я был в школе" и "Сегодня к 6 часам вечера я пошел на каток". Или такое высказывание: "функция у = ax 2 + bx + с непрерывна и дифференцируема при всех значениях х" состоит из двух простых высказываний: "Функция у = ах 2 + bx + с непрерывна при всех значениях х" и "функция у = ах 2 + bx + с дифференцируема при всех значениях х".
Подобно тому, как из заданных чисел можно получить другие числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, так из заданных высказываний получаются новые с помощью операций, имеющие специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. Хотя названия эти звучат непривычно, они означают лишь хорошо известные соединения отдельных предложений связками "и", "или", "если…то…", "тогда и только тогда, когда…", а также присоединение к высказыванию частицы "не",
3. Отрицанием высказывания а называют такое высказывание а, что а ложно, если а истинно, и а истинно, если а ложно. Обозначение а читается так: "Не а", или "Неверно, что а". Попробуем это определение понять на примерах. Рассмотрим следующие высказывания:
а:(Сегодня в 12 часов дня я был на катке);
b:(Сегодня я был на катке не в 12 часов дня);
с:(Я был на катке в 12 часов дня не сегодня);
d:(Сегодня в 12 часов дня я был в школе);
е:(Сегодня я был на катке в 3 часа дня);
f:(Сегодня в 12 часов дня я не был на катке);
На первый взгляд все высказывания b - f отрицают высказывание а. Но на самом деле это не так. Если внимательно вчитаться в смысл высказывания b, то можно заметить, что оба высказывания а и b могут одновременно оказаться ложными - так будет, если сегодня я совсем не был на катке. То же самое относится и к высказываниям а и с, а и а. А высказывания а и е могут оказаться и одновременно истинными (если, например, я катался на коньках с 11 до 4 часов дня), и одновременно ложными (если сегодня я совсем не был на катке). И только высказывание f обладает следующим свойством: оно истинно в том случае, когда высказывание а ложно, и ложно в том случае, когда высказывание а истинно. Значит, высказывание f есть отрицание высказывания а, то есть f = а. Следующая таблица показывает связь между высказываниями а и ;
Буквы "и" и "л" - сокращение слов "истина" и "ложь" соответственно. Эти слова в логике называют значениями истинности. Таблица называется таблицей истинности .
Мы очень любим мудрые высказывания великих людей. Тех, чьи имена золотыми буквами вписаны в историю мира. Но и обычные люди, наши с вами друзья, приятели, однокашники, иной раз такое «отмочат» - хоть стой, хоть падай. На этой странице мы собрали для вас этакий микс самых, на наш взгляд, интересных высказываний о жизни, судьбе, любви. Креативных, юморных, мудрых, впечатляющих, трогательных, цепляющих за душу, позитивных… на любой цвет и вкус)
1. Про работу и зарплату
2. Про ложь и правду
У лжи… широкая дорога… У правды… узкая тропа… Ложь… языков имеет много… А правда… на слова скупа… Ложь… это скользкие слова… но заползут в любые уши… А правда… тонкая струна… но пробивается сквозь души!!!
3. Неисповедимы Пути Господни…
Бог не дает вам людей, которых вы хотите. Он дает вам людей, в которых вы нуждаетесь. Они причиняют вам боль, любят, учат вас, ломают вас, чтобы превратить вас в того, кем вы должны быть.
4. Классно!!!
Как классно! На работу только через 20 лет!)
5. Система расчёта…
Это только кажется, что за всё платят деньгами. За всё действительно важное платят кусочками души…
6. Во всём нужно видеть позитив)
Если судьба подкинула тебе кислый лимон - подумай, где достать текилу и отлично повеселиться.
7. От Эрих Мария Ремарк
Кто хочет удержать - тот теряет. Кто готов с улыбкой отпустить - того стараются удержать.
8. Разница между собакой и человеком…
Если ты подберешь голодную собаку и сделаешь ее жизнь сытой, она никогда не укусит тебя. В этом принципиальная разница между собакой и человеком.
9. Только ТАК!
10. Дорога судьбы
Каждый человек в своей жизни должен пройти через это. Разбить чужое сердце. Разбить свое. И потом научиться бережно относиться и к своему, и к чужому сердцу.
11. В чём сила характера?
Сила характера не в умении пробивать стены, а в умении находить двери.
12. Ваш малыш развивается хорошо)
Девочки, счастье это не затяжка сигареты и глоток пива, счастье - это когда ты приходишь к врачу и тебе говорят: “Ваш малыш развивается хорошо, отклонений нет!”
13. От матери Терезы, жизненно важная мысль…
Для создания семьи достаточно полюбить. А для сохранения - нужно научиться терпеть и прощать.
14. Показалось)
В детстве казалось, что после тридцати - это старость… Слава Богу показалось!
15. Отделяйте зёрна от плевел…
Учитесь отличать важное и второстепенное. Высшее образование – не показатель ума. Красивые слова – не показатель любви. Красивая внешность – не показатель красивого человека. Учитесь ценить душу, верить поступкам, смотреть на дела.
16. От великой Фаины Раневской
Берегите своих любимых женщин. Ведь пока она ругает, переживает и психует - она любит, но как только начнет улыбаться и равнодушно относиться - ты её потерял.
17. Про детей…
Решиться обзавестись ребёнком - дело нешуточное. Это значит решиться на то, чтобы отныне и навсегда твоё сердце разгуливало вне твоего тела.
18. Очень мудрая португальская пословица
Шалаш, где смеются, дороже дворца, где плачут.
19. Выслушать…
В жизни нужно иметь один важный принцип - всегда брать трубку, если тебе звонит близкий человек. Даже если ты на него обижен, даже если не хочешь разговаривать, и уже тем более если ты просто хочешь проучить. Нужно обязательно взять трубку и выслушать то, что он хочет тебе сказать. Возможно, это будет что-то по-настоящему важное. А жизнь слишком непредсказуема, и кто знает, услышишь ли ты еще когда-то этого человека вновь.
20. Всё можно пережить
Всё можно пережить в этой жизни, пока есть для чего жить, кого любить, о ком заботиться и кому верить.
21. Ошибки… у кого их не бывает?
Твои ошибки, твоя сила. На кривых корнях, деревья стоят крепче.
22. Простая молитва
Мой Ангел-Хранитель… я снова устала… Дай руку, прошу, и крылом обними… Держи меня крепче, чтоб я не упала… А если споткнусь, Ты меня подними…
23. От великолепной Мерлин Монро)
Характер у меня конечно не ангельский, не всякий выдержит. Ну так извините… и я не для всякого!
24. Общайтесь…
Глупо не общаться с человеком, который тебе дорог. И неважно, что случилось. Его в любой момент может не стать. Представляешь? Навсегда. И ничего не вернёшь.
25. Жизненное измерение
Вы не можете ничего поделать с длиной своей жизни, но можете многое с её шириной и глубиной.