Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам. Все в школе…
Сопряжение представляет собой плавный переход одной линии в другую. Для поиска сопряжения необходимо определить его точки и центр, после чего начертить соответствующее пересечение. Для решения подобной задачи необходимо вооружиться линейкой,…
Сопряжение - это плавные переход одной линии в другую. Сопряжение очень часто применяются на разнообразных чертежах при соединении углов, окружностей и дуг, прямых линий. Построение сечения - довольно непростая задача, для выполнения которой от вас…
При проведении построений различных геометрических фигур иногда требуется определить их характеристики: длину, ширину, высоту и так далее. Если речь идет о круге или окружности, то часто приходится определять их диаметр. Диаметр представляет собой…
Прямоугольным называют треугольник, угол в одной из вершин которого равен 90°. Сторону, лежащую напротив этого угла, называют гипотенузой, а стороны, противолежащие двум острым углам треугольника, называются катетами. Если известна длина гипотенузы…
Задачи на осуществление построений правильных геометрических фигур тренируют пространственное восприятие и логику. Существует большое количество весьма простых задач подобного рода. Их решение сводится к модифицированию или комбинированию уже…
Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису, нужно найти середину угла. Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно…
При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол, равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии. Инструкция 1Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка…
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому задача построения медианы с помощью циркуля и линейки сводится к задаче нахождения середины отрезка. Вам понадобится-…
Медиана - это отрезок, проведенный из некоторого угла многоугольника к одной из его сторон таким образом, что точка пересечения медианы и стороны является серединой этой стороны. Вам понадобится- циркуль- линейка- карандашИнструкция1Пусть задан…
Эта статья расскажет вам, как при помощи циркуля провести перпендикуляр к данному отрезку через определенную точку, лежащую на этом отрезке. Шаги 1Посмотрите на данный вам отрезок (прямую) и точку (обозначим как А), лежащую на нем.2Установите иглу…
Эта статья расскажет вам, как провести прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку. ШагиМетод 1 из 3: По перпендикулярным прямым 1Обозначьте данную прямую как «m», а данную точку как А.2Через точку А проведите…
Эта статья расскажет вам, как построить биссектрису данного угла (биссектриса – луч, делящий угол пополам). Шаги 1Посмотрите на данный вам угол.2Найдите вершину угла.3Установите иглу циркуля в вершине угла и проведите дугу, пересекающую стороны угла…
Цель урока: Формирование умения строить угол, равный данному. Задача: Создать условия для усвоения алгоритма построения с помощью циркуля и линейки угла, равного данному; создать условия для усвоения последовательности действий при решении задачи на построение (анализ, построение, доказательство); совершенствовать навык использования свойств окружности, признаков равенства треугольников для решения задачи на доказательство; обеспечить возможность применение новых умений при решении задач
В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I
Дано: угол А. А Построили: угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE. 1.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. 2.АВ=ОD, как радиусы одной окружности. 3.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному
Докажем, что луч АВ – биссектриса А 3. Доказательство: Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C). Рассмотрим АСВ и АDB: А В С D 1.АС=АD, как радиусы одной окружности. 2.СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3. АВ – общая сторона. АСВ = АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса 4.Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.
Схема решения задач на построение: Анализ (рисунок искомой фигуры, установление связей между заданными и искомыми элементами, план построения). Построение по намеченному плану. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. Исследование (когда и сколько задача имеет решений?).
Часто нужно бывает начертить («построить») угол, который был бы равен данному углу, причем построение необходимо выполнить без помощи транспортира, а обходясь только циркулем и линейкой. Умея строить треугольник по трем сторонам, мы сможем решить и эту задачу. Пусть на прямой MN (черт. 60 и 61) требуется построить у точки K угол, равный углу B . Это значит, что надо из точки K провести прямую, составляющую с MN угол, равный B .
Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С , и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС . Построим теперь на прямой MN этот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К : тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В . Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС ; получим точку L ; вокруг K , как около центра, описываем окружность радиусом ВА , а вокруг L – радиусом СА . Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC ; в нем угол К = уг. В .
Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.
Как разделить угол пополам
Пусть требуется разделить угол А (черт. 63) на две равные части помощью циркуля и линейки, не пользуясь транспортиром. Покажем, как это сделать.
От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.
Объясним, почему это. Если точку D соединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADC и ADB, у которых есть общая сторона AD ; сторона АВ равна стороне АС , а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BAD и DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD . Следовательно, прямая AD делит угол ВАС пополам.
Применения
12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.
Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.
Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними
Пусть требуется на местности узнать расстояние между двумя вехами А и В (черт 66), разделенными непроходимым болотом.
Как это сделать?
Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С , откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам AC и ВС и углу С между ними, построим треугольник ABC где-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС , строят при ней у точки С угол С ; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.
Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря:
Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.
Построение угла, равного данному. Дано: угол А. А Построили угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE. 1.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. 2.АВ=ОD, как радиусы одной окружности. 3.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О
Докажем, что луч АВ – биссектриса А П Л А Н 1.Дополнительное построение. 2.Докажем равенство треугольников АСВ и АDB. 3. Выводы А В С D 1.АС=АD, как радиусы одной окружности. 2.СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3.АВ – общая сторона. АСВ = АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса Построение биссектрисы угла.
A N B A C 1 = 2 12 В р/б треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой. Тогда, а МN. М Докажем, что а MN Посмотрим на расположение циркулей. АМ=АN=MB=BN, как равные радиусы. МN-общая сторона. MВN= MAN, по трем сторонам Построение перпендикулярных прямых. М a
Q P ВА АРQ = BPQ, по трем сторонам = 2 Треугольник АРВ р/б. Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой. Тогда, точка О – середина АВ. О Докажем, что О – середина отрезка АВ. Построение середины отрезка
D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Угол hk h 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим угол, равный данному. 4.Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя I признак. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 а k
D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Угол h 1 k 1 h2h2 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим угол, равный данному h 1 k 1. 4.Построим угол, равный h 2 k 2. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя II признак. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 а k2k2 h1h1 k1k1 N
С 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q 2. 4.Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя III признак. Дано: отрезки Р 1 Q 1, Р 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 а P2P2 Q3Q3 Построение треугольника по трем сторонам.
При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол, равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.
Инструкция
- Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.
- Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол, начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие способы для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.
- Встречаются ситуации, когда необходимо начертить угол, чтобы он был равен уже данному углу. Если при построении чертежа использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, образующую с линией MN угол, который будет равен углу В.
- В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугольник АВС.
- Сейчас постройте на прямой MN такой же треугольник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугольника по трем сторонам. Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.
- Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугольник КPL, который будет равен треугольнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это построение сделать удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.